冬令营的轻松的日子很快就过去了，连续两天的结营考试才是重头戏。结营考试模拟IMO的形式进行，连续考试两天，每天三题，总共六题，每题满分21分，总分126分。

CMO的比赛已经有快十年没有出现过满分答卷了，实际上每场CMO都是出题老师和考生的斗智斗勇。试卷要兼顾区分度和难度，出题人既希望出现满分答卷又不希望出现满分答卷。出现满分答卷说明今年的冬令营人才辈出，也说明出题还不够精巧。

近两年的IMO团体金牌都被美国华裔选手包揽了，这让国家队的几个老头未免面子挂不住。所以这次的冬令营的题目难度相较于前两年更难，更注重数学思维的选拔。

按照省份排考场，叶瑄和陈亦桐又被分到了一个考场，这意味着两个人新一轮的较量就开始了。这段时间陈亦桐的进步非常快，这让叶瑄有了危机感。她早就知道陈亦桐的天赋惊人，但是没想到这段时间进步这么神速，有时候两个人讨论问题，她快觉得招架不住陈亦桐的想法了。

坐进考场，黑板上密密麻麻用粉笔写着考试纪律，特别明显用红色粉笔加粗了——不允许使用任何形式的辅助计算工具。实际上叶瑄一直觉得这个限制对于数学竞赛的意义不大，国外的AMC不仅可以使用计算器，还可以直接使用编程计算器。但是国内目前还是认为手开方和手解超越方程仍然是数学能力的一种体现。

叶瑄和陈亦桐两个人坐在位置上安静地折着草稿纸，等待着试卷下发。时钟指到13：55，准时开始下发试卷，以前这个时间点是叶瑄最困倦的时候，所以上午叶瑄干脆请假在宿舍睡觉，这个点精神百倍。

试卷一发下来，叶瑄就愣住了，倒不是试卷有多么难，而是她意识到冥冥之中已经有东西开始改变了。她清楚地记得2009年CMO的第一题是一道数论题目，而现在变成了一道平面几何题目。前世她比陈亦桐晚两届参加CMO，在参加2011年CMO的时候她把前十年的题目都做了一遍，着重研究了近三年题目的出题风格，所以2009年CMO的题目她记忆非常深刻。

叶瑄重生的蝴蝶翅膀已经开始扇动，慢慢改变了一些东西。叶瑄突然有了一种喜极而泣的感觉，故事的结局并不是一成不变的，这意味着陈亦桐的人生轨迹也有改变的可能。

叶瑄拿着卷子发呆了五分钟，就连后排的陈亦桐都察觉了异常，连忙假装咳嗽提醒她考试开始了。

陈亦桐的咳嗽声把叶瑄从思考中拉了出来，进入到对试卷的分析中。叶瑄通览了一遍卷子，她能感觉到这套题目背后的为难之意，这两年IMO团体决赛金牌都不是中国队，确实该在试卷上加加压了。

第一题的平面几何证明题，算是一道送分题了，只要找到了做辅助线的关键，这一道题十步之内就可以解决。如果实在没有思路，一般第一道平面几何都可以通过建立坐标系暴力解坐标来证明。所以第一道题一般很少有人会放弃。

看到四点共圆的条件，叶瑄和陈亦桐立刻敏锐地察觉了这一题需要取中点，再看证明乘积相等，很明显需要利用相似三角形的性质。这道题的思路很快就出来了，取四点共圆的重点构造证明相似三角形，证明乘积成立。

第二问则是第一问的逆命题，假设EM*FN=EN*FM，是否一定有A,B,C,D四点共圆。如果说第一问是优秀的高中非竞赛生可以做出来的，那么第二问就区别了竞赛生和非竞赛生。

着手证明这道题，首先要判断这道逆命题是否成立。对于竞赛生熟悉相似三角形的性质，一眼就知道不成立。对于不熟悉相似性质的，找一个特殊位置就可以证明了。怎么选择构造这个特殊位置方便证明，又可以体现出竞赛生和非竞赛生的区别了。

如果在第一问选择了建系的方法把几何代数化的同学，第二问就要轻松许多了，直接给出坐标点就可以证明。如果选择构造的方法，这题的思路也是分别从头尾开始向中间证明。从头就是找哪个特殊位置，从尾就是四点不共圆应该怎么证明。

以叶瑄的经验非常自然的就找到了AD平行于BC时最容易利用相似的性质证明不共圆，这是最简单的思路。陈亦桐没有选择平行线，而是选择了中点的构造方法。

叶瑄先翻了页，陈亦桐也紧随其后。有些不擅长平面几何的同学从一开始就选择建系的方法，这样也不怎么浪费时间。比较亏的就是中途换方法的同学会耽误时间。

第二道数论题目对于有经验的同学思路也非常明显，直接费马小定理就可以解出所有满足条件的素数解。但是这道题目的关键不在于怎么得出所有解，而在于如何得到满分。叶瑄就在这里犯了经验主义错误，她一眼就看出p=2，q=5的时候，原式才存在解，便没有讨论当p，q为其他值时是否存在素数解。

第三道题则是一道图论题目，这其实是叶瑄的弱项，不过初等数学中的图论问题，叶瑄仍然可以凭借着她丰富的经验找到套路。四个半小时的时间做完三道题，叶瑄仅仅用了一个半小时就做完了卷子。按照规定，考试可以提前半个小时卷子，这意味着叶瑄还要在考场里再待三个小时。

冷懿德在考场外巡考的时候，看到叶瑄趴在那睡觉扰乱军心，让其他学生一下子也紧张了起来，实在看不过眼。便进教室把叶瑄连人带卷子一起提溜到监考室了。

“你坐那先坐一会儿，我先帮你把卷子改了，你要考不到满分，你看我怎么收拾你。”

冷懿德喊了另一个巡考官员进来一起改这套卷子，倒不是他一个人不能改卷，而是需要人来证明他改卷子的过程是公平公正的，没有帮助叶瑄实施作弊行为。

越看卷子，冷懿德的眉头皱的越深，这套答题卡看起来无比漂亮，没有丝毫涂改的地方，看起来一气呵成，就是感觉在细节上处理的很差。第二题数论很明显证明少了一半，但是以他对于叶瑄的了解，她不会看不出来。

“53分！你明天再这个态度，小心国家集训队都进不去。”冷懿德明显是有了些生气。

“不可能啊，这三道题我检查了一遍，不可能被扣十分啊。”叶瑄能够预料到冷懿德给自己扣一些步骤分，但是没想到会直接扣了10分，这意味着解题过程已经出现了严重性的错误。

“我问你，pq非特值的情况下你为什么不写上？”冷懿德给了叶瑄一点提示。

“pq非特值的情况下，很明显没有素数解啊，这题就五对解，我都写出来了啊。”

“很明显是多明显？你现在是一个作答者的身份来做这道题，不是出题者，不能想当然。我知道你不是不会，但是你不写我只能当你和普通学生一样不会了。”冷懿德有些恨铁不成钢，他能感觉到叶瑄身上的灵气，但是他也感受到了和她年龄不符合的不踏实。

“对不起，冷教授，这是我的问题。我太想当然了，所以失去了做数学的严谨。”冷懿德的话让叶瑄有点羞愧，她仗着自己多活一世的积累，所以一点都不踏实。

按照她前世养成的良好的习惯，她会先在脑海里理一遍思路，然后再论证一遍这样的解法会不会有漏洞。而现在的她直接仗着经验，看完题眼直接开始写答案，虽然答案肯定没问题，却丧失了论证的严密性。

叶瑄身上是带着傲气的，当然有本事的人总是有点傲气的。但是叶瑄没有明白她是有着重活一世的积累的，她接受了完备的数学学术训练，满级大佬又回来屠杀新手村，这完全不值得骄傲。

“你跟我过来，我让你看看什么叫做人外有人，天外有天。”冷懿德把叶瑄叫到了监控室，第一排正对监控坐着的男生桌子上放着一瓶矿泉水，低头不停的演算着。

“你知道那是谁吗？”冷懿德指了指监控最中央的那个寸头男生。

虽然这已经是这个年代最高清的摄像头，但是镜头仍然非常模糊，叶瑄摇了摇头，表示自己没有认出来。

“那是你魏应晖师兄，2008年IMO满分金牌得主。你不会以为这套题人家需要做四个半小时吧，他比你还先完成这套卷子，人家老老实实的坐在位置上在想其他的解法，他的卷子我是可以作为标准答案来给你们改分的。”

一提到魏应晖的名字，叶瑄立刻清醒了。魏应晖是在陈亦桐之前，唯一一个两届代表国家队参赛获得金牌的。她当年进入国家队的时候，魏应晖已经进入京北大学读书了，再后来她出国读书，就再也没见过自己这位“传说”中的师兄了。

叶瑄在监视器里搜寻着陈亦桐的身影，没想到陈亦桐也正准备提前交卷，叶瑄立马向冷懿德撒娇：“冷教授，您不能光说我，陈亦桐也提前交卷了。”

“哼，那孩子可比你仔细多了，不信看成绩就知道了。”冷懿德没上叶瑄的当。

下午考试结束，有的省的领队会召集本省的学生开个小会点评一下白天的题目，也是给明天的考试提个醒。不过心态不好的同学最好不要参加这种活动，不然明天的考试容易崩溃。

这种活动陈亦桐和叶瑄是向来不参加的，他们俩参加这种活动就是给其他考生添堵，他俩还没有那么不自觉。

作者有话要说：感谢瓦超爱晋江的好吧和不能暴露马甲的小姐姐的一颗地雷

感谢慢慢来和墨鱼只想摸鱼的营养液

感谢糖芝，阿巴阿巴，oyyling的评论

这套题目就是09年数学竞赛冬令营的原题，大家网上可以搜到，感兴趣的同学看着答案也能理解一部分。

其实这里面的一些东西对我们平时数学解题也有一定的启示：例如对于证明x命题是否总是成立，如果总是成立那就是正推法，用已经条件可以推到结论；如果不总是成立那就更简单了，找到特殊位置来否定。不过全国卷考区不怎么用到类似的思路，北京卷的数列压轴倒是偶尔有此类的证明。